Cozinhe as batatas descascadas, em água com sal, até ficarem macias, cerca de 10 minutos.
Escorra a água e amasse as batatas.
Junte o leite, o creme de leite e a manteiga, misture bem.
Tempere com noz-moscada e pimenta-do-reino a gosto.
Corrija o sal, se necessário, e reserve.
Esquente o azeite, com 2 dentes de alho inteiros com casca (amassados levemente com a faca), a pimenta dedo-de-moça sem sementes, o tomilho, o louro e o alecrim, sem deixar ferver.
Coloque o bacalhau no azeite, sem deixar que ele atinja o ponto de fritura, cozinhando-o por 15 minutos.
Retire as postas de bacalhau já cozidas do azeite, deixe esfriar um pouco até que consiga retirar a pele, os espinhos e desfiar sem queimar as mãos.
Reserve o bacalhau desfiado.
Refogue metade das cebolas fatiadas e 2 dentes de alho picados, com 3 conchas do azeite do cozimento do bacalhau.
Junte o cheiro-verde picado, o alho-poró fatiado e as azeitonas pretas, refogue mais um pouco.
Acrescente a esse refogado o bacalhau desfiado, misture e deixe secar bem, em fogo baixo (cerca de 15 minutos), reserve.
Enquanto o bacalhau seca, frite as batatas palitos no que sobrou do azeite do bacalhau, escorra em papel toalha e reserve.
Forre o fundo de uma assadeira funda com o que sobrou das cebolas.
Regue com 1 ou 2 conchas do azeite do cozimento do bacalhau.
Espalhe o bacalhau refogado pela assadeira.
Coloque as batatas fritas.
Cubra com o purê de batatas.
Espalhe a muçarela ralada por cima e leve ao forno médio para gratinar.
Sirva com arroz branco.