Descasque o jiló, e pique em pequenos pedaços, coloque em uma vasilha com água, junte o sal, misture e reserve por 1/2 hora.
enquanto isso, aqueça 2 colheres de azeite em uma panela, e refogue a cebola e o alho.
Escorra o jiló reservado.
Dê uma rápida lavagem em água corrente, deixe escorrer bem e junte ao refogado.
Cozinhe por cerca de 15 minutos, ou até o jiló ficar bem macio, quase desmanchando.
Pingue um pouco de água se for necessário.
Desligue o fogo e com um garfo, esmague até ficar em forma de purê.
Tempere com o azeite restante, o vinagre e o mel.
Verifique os temperos, havendo necessidade corrija o sal e salpique a pimenta-do-reino.
Dê uma ultima mexida e reserve.
Prepare o caldo , fervendo um litro de água com 2 tabletes de caldo de galinha.
Ainda com a água no fogo, adicione a polenta aos poucos, batendo bem para não empelotar.
Quando chegar à consistência desejada, coloque a manteiga, o parmesão e reserve.
Para o molho, refogue a cebola e o alho, sem deixar queimar, acrescente a liguiça picadinha deixando apurar bem.
Adicione o molho de tomate e deixe reduzir a 1/3.
Acrescente as azeitonas e corrija o sal se for necessário.
Em um refratário, coloque primeiro o purê de jiló, depois a polenta e por cima o molho.
Salpique o quejo parmesão ralado, leve ao forno para dar uma gratinada, de leve, retire, salpique salsinha e sirva.